تحقیق درباره تعاريف و ويژگی های بنيادی توابع مثلثاتی

تحقیق درباره تعاريف و ويژگی های بنيادی توابع مثلثاتی

1.1. اندازه كمان بر حسب راديان، دايره مثلثاتي
دانش‌آموزان اولين چيزي را كه در مطالعه توابع مثلثاتي بايد بخاطر داشته باشند اين است كه شناسه‌هاي (متغيرهاي) اين توابع عبارت از اعداد حقيقي هستند. بررسي عباراتي نظير sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهي اوقات به نظر دانشجويان دوره‌هاي پيشدانگاهي مشكل مي‌رسد.
با ملاحظه توابع كماني مفهوم تابع مثلثاتي نيز تعميم داده مي‌شود. در اين بررسي دانش‌آموزان با كماني‌هايي مواجه خواهند شد كه اندازه آن‌ها ممكن است بر حسب هر عددي از درجات هم منفي و هم مثبت بيان شود. مرحله اساسي بعدي عبارت از اين است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتي) به اندازه راديان كه اندازه‌اي معمولي‌تر است تبديل مي‌شود. در حقيقت تقسيم يك دور دايره به 360 قسمت (درجه) يك روش سنتي است. اندازه زاويه‌ها برحسب راديان بر اندازه طول كمان‌هاي دايره وابسته است. در اينجا واحد اندازه‌گيري يك راديان است كه عبارت از اندازه يك زاويه مركزي است. اين زاويه به كماني نگاه مي‌كند كه طول آن برابر شعاع همان دايره است. بدين ترتيب اندازه يك زاويه بر حسب راديان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاويه بر شعاع دايره‌اي است كه زاويه مطروحه در آن يك زاويه مركزي است. اندازه زاويه برحسب راديان را اندازه دوار زاويه نيز مي‌گويند. از آنجا كه محيط دايره‌اي به شعاع واحد برابر است از اينرو طول كمان برابر راديان خواهد بود. در نتيجه برابر راديان خواهد شد.

تحقیق درباره تعاريف و ويژگی های بنيادی توابع مثلثاتی

مثال1-1-1- كماني به اندازه يك راديان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زير را مي‌نويسيم:
اگر باشد آنگاه يا را خواهيم داشت.
مثال 2-1-1 كماني به اندازه راديان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه

2- دايره مثلثاتي. در ملاحظه اندازه يك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب راديان آگاهي از جهت مسير كمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهميت است. مسير كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربه‌هاي ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته مي‌شود. در حاليكه در جهت حركت عقربه‌هاي ساعت منفي منظور مي‌شود.
معمولاً انتهاي سمت راست قطر افقي دايره مثلثاتي به عنوان نقطه مبدأ اختيار مي‌شود. نقطه مبدأ دايره داراي مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان مي‌دهيم. همچنين نقاط D,C,B از اين دايره را بترتيب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داريم.
دايره مثلثاتي را با S نشان مي‌دهيم. طبق آنچه كه ذكر شد چنين داريم:

3- پيچش محور حقيقي به دور دايره مثلثاتي. در تئوري توابع مثلثاتي نگاشت از R مجموعه اعداد حقيقي روي دايره مثلثاتي كه با شرايط زير انجام مي‌شود نقش اساسي را ايفا مي‌كند:
(1) عدد t=0 روي محور اعداد حقيقي با نقطه : A همراه مي‌شود.
(2) اگر باشد آنگاه در دايره مثلثاتي نقطه را به عنوان نقطه مبدا كمان AP1 در نظر گرفته و بر محيط دايره مسيري به طول T را در جهت مثبت اختيار مي‌كنيم، نقطه مقصد اين مسير را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روي دايره مثلثاتي همراه مي‌كنيم. يا به عبارت ديگر نقطه Pt تصوير نقطه A=P0 خواهد بود وقتي كه صفحه مختصاتي حول مبدا مختصاتي به اندازه t راديان چرخانده شود.

تحقیق درباره تعاريف و ويژگی های بنيادی توابع مثلثاتی
(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محيط دايره در جهت منفي، مسيري به طول را مشخص مي‌كنيم. فرض كنيد كه Pt نقطه مقصد اين مسير را نشان دهد و نقطه‌اي متناظر به عدد منفي t باشد.
همانطوريكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P اين نكته را مي‌رساند كه نيم‌محور مثبت اعداد حقيقي در جهت مثبت بر روي S مي‌خوابد؛ در حاليكه نيم‌محور منفي اعداد حقيقي در جهت منفي بر روي S مي‌خوابد. اين نگاشت بك‌بيك نيست: اگر به عدد متناظر باشد يعني اگر F=P باشد آنگاه اين نقطه نيز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقيقت با افزودن مسيري با طول (در جهت مثبت و يا در جهت منفي) به مسيري به طول t مجدداً به نقطه F خواهيم رسيد. نگاره وارون كامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt كه متناظر به اين عدد است يكي در نظر گرفته مي‌شود، با اين حال مسائل بايد به موضوع مطروحه نيز توجه كرد.
مثال4-1-1- همه اعداد را كه متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آوريد.
حل: بدليل رابطه زير نقطه F عملا روي S قرار دارد:

فرض مي‌كنيم كه Y,X پاي عمودهاي مرسوم از نقطه F بر روي محورهاي مختصاتي OX و OY باشند (شكل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوي‌‌الساقين قائم‌الزاويه خواهد بود: بدين ترتيب اندازه كمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر مي‌شود.
يك تابع متناوب داراي دورهاي تناوب نامتناهي است؛ به اينصورت كه بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددي بصورت كه در آن به صورت يك عدد صحيح است تابع داراي يك دوره تناوب مي‌شود. كوچكترين دوره تناوب مثبت يك تابع متناوب را دوره تناوب بنيادي مي‌نامند.
قضيه1-1. توابع و با دوره تناوب بنيادي متناوب هستند.
قضيه 2-1. توابع و با دوره‌ تناوب بنيادي متناوب هستند.
برهان قضاياي 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهاي سينوس، كسينوس، تانژانت و كتانژانت، و نيز به كمك دايره مثلثاتي مي‌توان بطور عادي
تحقیق درباره تعاريف و ويژگی های بنيادی توابع مثلثاتی

پسورد فایل: www.bazaarfile.ir